GAMES102-11-曲面参数化 & 曲面简化

Lecture 11 Surface Parameterization & Surfaces Simplification

曲面参数化（又称曲面展开）

问题：给定一张曲面，如何找其二维的参数定义域？

参数化的应用：

地图绘制（地理学）
纹理映射
曲面绘画
大部分几何处理的基础（基本问题）

参数化期望保持的几何性质：

保角映射(angle‐preserving)：conformal（共形）
保面积映射(area‐preserving)：authalic
等距映射(isometric)：conformal + authalic

等轴展开：

失真度量：

angle-preserving (conformal) ：
area-preserving (authalic) ：
length-preserving (isometric) :

曲面参数化的方法：

Tutte's embedding method：将三角剖分映射到凸边界内的方法。（适用于平面图（即可以嵌入到平面上的图）以及更一般的，嵌入到球面或其他曲面上的图）

面着色：首先，图的每个面都被分配一个颜色。在平面图中，通常使用两种颜色（双色）来确保相邻的面颜色不同。
顶点标记：然后，根据相邻面的颜色，为每个顶点分配一个标记。这个标记可以是0、1或2，取决于相邻面颜色的变化。
边的定向：接着，根据顶点的标记，为每条边分配一个方向。这个方向可以是正向或反向，取决于顶点标记的奇偶性。
构建嵌入：最后，使用这些信息来构建图的嵌入。这涉及到在表面上放置顶点，并以一种方式绘制边，使得它们不相交，并且每个面的边界都由边正确地定义。

Angle Based Flattening (ABF) & ABF++：3D模型表面参数化的算法，它通过最小化角度失真来生成低失真的参数化结果。

As‐rigid‐as‐possible (ARAP) ：3D模型表面参数化的算法，其核心思想是在保持局部区域尽可能刚性的同时，通过全局优化实现整体形状的变形。特别适用于需要保持模型局部细节的场合。

Simplex Assembly：计算无翻转（inversion-free）映射的方法，它在保持低失真或有界失真的情况下，对单纯形网格进行处理。（单纯形分解（simplex disassembly）和单纯形组装（simplex assembly））

Bijective Parameterizations

一种在几何处理和计算机图形学中用于3D模型表面参数化的技术，其目标是创建一个全局单射（one-to-one）的映射，确保参数化过程中没有翻转或自我相交。

Quasi‐Newton (QN)
Scaffold
Efficient Bijective Parameterizations

封闭曲面的割缝问题

一个封闭的表面不能被展平，需要一个切口将其切开成一个类似圆盘的区域。

最小生成树方法（Minimum Spanning Tree, MST）：

节点选择：在最小生成树方法中，节点（或顶点）通常选择具有高曲率或高失真的极值点。这些点在参数化过程中对于保持模型的细节和特征至关重要。
最小生成树构建：构建一个图的最小生成树，该树连接所有选定的节点，且总边权重最小。在表面参数化的上下文中，边权重可以基于多种因素，如距离、角度失真或面积失真。
展平策略：一旦构建了最小生成树，就可以使用它来指导表面展平的过程。一种常见的策略是将最小生成树的叶子节点（没有子节点的节点）展平，然后逐步向中心节点推进。
减少失真：通过在最小生成树的基础上进行展平，可以减少全局失真，因为最小生成树倾向于保持局部结构的完整性。

纹理地图：多片参数化

多片参数化是一种纹理地图技术，它将模型表面分割成多个小片，每一片单独进行参数化，以减少单个参数化过程中的失真。

Atlas Generation（图集生成）是一个关键过程，它涉及到将模型表面分割成多个图表（charts），并将这些图表展平成2D区域。Minimizing Packing Efficiency (PE) 是图集生成中的一个核心问题，它指的是在将这些2D图表紧凑地排列到一个矩形区域中时，如何最大化空间利用率，即最小化未使用的空间。