Lecture 07 Mesh
光滑（Smooth）曲线：
- 连续曲线：参数连续性（看导数）
- 光滑：高阶连续
- 几何曲线：
- 与参数化无关，更刻画了曲线形状的本征光滑性
- 更适合交互式曲线设计
光顺曲线（Curve fairing）：
左边光顺右边不光顺（从微观角度上去区分）
光顺没有一个统一的数学定义
曲线的曲率：
- 从宏观上看两条曲线一致，但从微观上两条曲线的曲率完全不同
对光顺的一些观察：
曲面光顺的新定义：
一条曲线是光顺的，如果
- 它是 C{1+l} ( l > 0 )连续的
- 它的曲线本身拐点较少
- 它的曲率图的拐点较少
- 它的曲率图变化的振幅相对小
曲线的光顺方法：
- 初光顺——定界法
- 基本光顺——卡尺法
- 精光顺——回弹法
曲面的光顺也无严格定义，在工业界叫Class A曲面
实现方法：
- 三向曲线光顺
- 能量法
离散曲线
曲线（形状）的不同表达方法：
- 几何迭代法（渐进迭代逼近） (progressive‐iterative approximation, PIA)
从连续到离散：
- 对象的表达
- 在数学上，连续表达与计算
- 在计算机中，离散表达与计算
- 数值方法：数值微分、数值积分、数值优化
- 数值分析：离散计算对精确计算的近似程度
- Fourier分析/变换：离散Fourier分析/变换
- 卷积（滤波）
- 在计算机科学（计算机图形学）中，采样无处不在
- 计算机只能表达离散的数值
- 例子：int型的数据（量化）
曲线的离散化：将连续性表达转化为多边形表达（分段线性）
为何要离散化？
- 渲染的必要性
- 算法和硬件：线段/圆的光栅
- 计算的必要性
- 直线求交、多项式求根
- 制造的必要性
- 刀具轨迹只能走直线段和圆弧
曲线的离散：采样
Bezier曲线的离散定理：
离散曲线的几何量的计算：
- 如果有连续表达，利用连续表达的曲线来计算
- 如无连续表达
- 差分法：利用差分形式来近似微分属性
- 拟合法：利用光滑函数来拟合估计属性
- Tylor展开及估计
重心坐标：一种用于描述空间中点的位置的方法，特别是在多边形或多面体内部，即描述内部点与边界点（控制顶点）之间的关联关系。
重心坐标的应用：
各种重心坐标的计算方法：
三角网格
绘制：离散表达
- 曲线的绘制：
- GDI/OpenGL 绘制基本单元：点、线段
- 曲线须离散成多边形
- 曲面的绘制：
- OpenGL 绘制基本单元：点、线、三角形
- 曲面须离散成三角形网格
流形（Manifold）：流形是一个局部类似于欧几里得空间的拓扑空间。具体来说，一个流形满足以下条件：
- 拓扑空间：流形是一个拓扑空间，这意味着它具有开集、闭集等拓扑结构。
- 局部欧几里得性：在流形的每个点附近，都存在一个开集，这个开集与欧几里得空间中的开集同胚（即存在连续的双射，其逆也是连续的）。
- 维度：流形具有固定的维度，即在每个点的邻域内，它都与相同维度的欧几里得空间同胚。
流形的例子包括：
- 平面、球面、环面等几何体。
- 地球表面，尽管地球是一个三维空间中的球体，但在局部范围内，地球表面可以被看作是一个二维流形。
- 某些复杂的几何形状，如莫比乌斯带，也是二维流形。
非流形（Non-manifold）：非流形是指不满足流形定义的空间。它们可能在某些点或区域不具有局部欧几里得性质，或者在不同点的邻域具有不同的维度。非流形的例子包括：
- 具有边界的空间：例如，一个开放的立方体（不包括其边界）是一个三维流形，但如果包括边界，它就不再是流形，因为边界点不满足局部欧几里得性质。
- 具有奇点的空间：例如，一个圆锥在顶点处不满足流形的定义，因为顶点处的邻域不与任何欧几里得空间同胚。
- 不规则形状：某些不规则或分形形状可能在某些区域不满足流形的条件。
区别：
- 局部性质：流形在每个点的邻域内都具有与欧几里得空间相同的局部结构，而非流形可能在某些点或区域不具有这种结构。
- 维度一致性：流形在整个空间中具有一致的维度，而非流形可能在不同区域具有不同的维度。
- 拓扑结构：流形具有更严格的拓扑结构要求，而非流形可能在拓扑上更加复杂或不规则。
往后提的处理都是针对流形的，如果存在非流形就把它去掉
定义一个网格：
存储网格有很多方式，可以直接用成熟的框架
用的最多的结构是半边（half-edge）数据结构
