Lecture 06 Many-Splines
有理曲线
Bézier曲线无法表示精确的圆弧
有理Bezier曲线：在高维空间定义曲线再投影回来
- 在 Rn 空间中定义了一个度数为 d 的有理Bezier曲线
- 首先在 (n+1) 维空间中形成一个度数为 d 的Bezier曲线
- 将最后一个坐标解释为齐次分量
- 通过投影得到欧几里得坐标
有理Bezier曲线的几何解释：高维的Bezier曲线的中心投影
权系数对曲线形状的影响：控制顶点的权系数越大，曲线就越靠近该点
有理Bezier曲线的性质：具有Bezier曲线的大部分性质
NURBS曲线
NURBS: Non‐Uniform Rational B Spline （非均匀有理B样条）
NURBS曲线的表达式：
其中 Ni,pa(t) 是B样条基函数，wi 是权重，Pi 是控制点
- 与B样条的结点序列等保持不变
- De Boor算法类似于有理de Casteljau算法
- 在计算过程中可以：
- 选择1：分别对分子和分母应用De Boor算法
- 选择2：在每个中间结果中归一化权重
- 第二个选项在数值上更稳定
- 影响NURBS曲线建模的因素：
- 控制顶点：用户交互的手段
- 节点向量：决定了B样条基函数
- 权系数：也影响曲线的形状，生成圆锥曲线等
NURBS曲线的性质大部分与Bezier/B样条曲线类同：具有良好的几何直观性
NURBS曲线的例子：
NURBS曲线/曲面表达是当前的工业标准
细分曲线
de Casteljau作图算法从几何直观性来说类似雕塑雕刻过程：逐步割角、磨光
启发：是否可以通过不断“割角”构造曲线？
- 给定一个简单多边形
- 通过一定规则，割角磨光，产生更多边的多边形
- 不断迭代操作割角磨光，产生（极限）光滑曲线
细分方法的思想：
两个步骤：
- 拓扑规则：加入新点，组成新多边形（splitting）
- 几何规则：移动顶点，局部加权平均（averaging）
- 对所有顶点都移动：逼近型
- 只对新顶点移动：插值型
Chaikin细分方法（1974年提出）：
- 拓扑规则：
- 点分裂成边（割角），老点被抛弃（逼近型）
- 新点老点重新编号
- 几何规则：新顶点是老顶点的线性组合
可以证明：
- 极限曲线为二次均匀B样条曲线
- 节点处C1，其余点处C∞
均匀三次B样条曲线细分方法：
- 拓扑规则：边分裂成两条新边
- 几何规则：点重新算位置
细分曲线的性质的证明思路：
- 将细分过程表达成矩阵形式：新顶点是老顶点的线性组合
- 讨论细分矩阵的谱性质（特征根）
- 极限情况：极限曲线上的点可由细分矩阵的幂次的极限求得
- 收敛的必要条件：细分矩阵的最大特征根为1，否则会爆炸(>1) 或收缩(<1)
插值型细分方法：可以看成是“补角法”
- 保留原有顶点
- 对每条边，增加一个新顶点
- 不断迭代，生成一条曲线
4点插值型细分规则（1987年提出）：
4点细分曲线的例子：
分形曲线（分数维）：分形几何
英国的海岸线到底有多长？不同尺度测量结果差异极大
IFS：自迭代函数系统，一个函数不断迭代就能产生分型效果
一般：2n点插值细分方法
非线性细分方法：基于双圆弧插值的曲线细分方法
- 给定一条边，新点为插值其两端点及两端切向的双圆弧的一个连接点，也是其两端点两端切向的所确定三角形的内心
- 每个细分步骤后调整切向
隐式曲线
隐式函数：自变量x和应变量y的关系非显式关系，是一个 隐式的关系（代数方程）
所有满足该代数方程的点的轨迹是条曲线
隐式曲线：
将隐函数升高一维，可以看成是x和y的二元函数
则该隐函数曲线是上述二元函数的0等值线，即平面z=0与z=f(x,y)的交线：
- 在曲线上：f(x,y) = 0
- 在曲线的左侧（内部）：f(x,y) < 0
- 在曲线的右侧（外部）：f(x,y) > 0
可以用于定义符号距离场（Signed Distanse Field, SDF）
隐函数的性质：
- 考虑曲面上的一个点 x，满足 f(x)=0
- 梯度非零假设：假设
- 单位法向量：隐式曲面的单位法向量为：
- 对于有符号函数，法向量指向外部
- 对于有符号距离函数，上述公式简化为
隐式曲线的绘制：
- Marching Cubes算法（1987年提出）
- 隐式曲线绘制的最常用方法
- 思想（2D: Marching Squares）
- 在一些离散格子点上求值
- 然后利用局部连续性插值出值为0的点
- 按一定的顺序连接这些点形成离散曲线
隐式曲线拟合：
求解步骤：
- 估计法向：利用邻近点来估计切平面
- 拟合一个二元函数：在型值点上值为0，外部（法向方向的点）为正，内部为负
隐函数构造方法：
- Blobby molecules
- Metaball
- RBF based method
- Multi‐level partition of unity implicits (MPU)
- Poisson reconstruction method
- Screened Poisson method
- ...
NURBS曲面
回顾：曲线曲面的不同形式
参数曲面：
双参数(u, v)
参数曲面
基本方法：张量积
张量积曲面：就是曲线的组合，两个方向两次的组合
张量积曲面的性质：
- 类似于曲线情形，性质取决于基函数的性质
- 先沿一个方向做，然后再沿另一个方向做（方向顺序无关）
- Bezier曲面片具有类似的良好性质
- 边界插值
- 凸包
- 变差缩减
- 几何作图法
- ...
de Casteljau作图法：
其他曲面的定义完全同：B样条曲面 / 有理曲面 / NURBS曲面
Trimmed NURBS曲面：表达带“洞”或非矩形边界的曲面
- 曲面上的曲线：使用参数域上的NURBS曲线来定义，然后复合得到曲面上的曲线
三角域的Bernstein‐Bezier曲面片：
- 矩形域有时不方便
- 使用三角域来定义曲面片
三角Bezier曲面片：
张量积曲面会遇到的特殊问题：角点的光滑性
