GAMES102-05-Bezier曲线 B样条曲线

建模的两种形式：

曲线拟合从代数观点来看是从一组基函数所张成的函数空间中，找一个“好”的函数来拟合给定的采样点。从几何观点看：

系数顶点与曲线本身无直观的联系，无几何意义 → 不利于用户在设计建模中交互修改曲线

Bernstein基函数

n次Bernstein基函数B = {B₀⁽ⁿ⁾, B₁⁽ⁿ⁾, …, B_n⁽ⁿ⁾}

where the binomial coefficients are given by:

例子：

用Bernstein基函数所表达的曲线具有非常好的几何意义

Bezier曲线

Bernstein基函数

Bernstein基函数性质：

B_i⁽ⁿ⁾(t) ≥ 0, ∀t ∈ [0, 1]

基性
- B = {B₀⁽ⁿ⁾, B₁⁽ⁿ⁾, …, B_n⁽ⁿ⁾}是次数不高于n的多项式集合（空间）的一组基
- 与幂基可以相互线性表达：
递推公式
- 基函数的递推公式
- - with
- B₀⁰(t) = 1, B_iⁿ(t) = 0 for i ∉ {0, …, n}
  - 由
- - 可推导得到
- 高阶的基函数由2个低阶的基函数“升阶”得到（利于保持一些良好的性质）
端点插值性
- B₀ⁿ(0) = 1, B₁ⁿ(0) = ⋯ = B_nⁿ(0) = 0
- B₀ⁿ(1) = ⋯ = B_n − 1ⁿ(1) = 0, B_nⁿ(1) = 1
- 可知Bezier曲线经过首末两个控制顶点p0, pn
导数
- Bezier曲线的端点性质：
  - 端点插值：
    - f(0) = P₀
    - f(1) = P_n
  - 端点的切线方向与边相同：
    - f^′(0) = n[P₁ − P₀]
    - f^′(1) = n[P_n − 1 − P_n]
  - 端点的2阶(k)切线与3点(k+1)相关：
    - f^″(0) = n(n − 1)[P₂ − 2P₁ + P₀]
    - f^″(1) = n(n − 1)[P_n − 2P_n − 1 + P_n − 2]
升阶

可知Bezier曲线的升阶：

Bezier曲线的 de Casteljau算法

几何样条曲线

用分段Bezier曲线来插值型值点

两Bezier曲线的拼接条件：

广义样条曲线

分段表达时具有局部性，如何形成一个统一表达？

从Bernstein基函数的递推公式得到启发：

关键思路：

每次多一阶。

基函数的性质：

B样条曲线：

多重加权结点向量：

B样条函数实际上就是一个分段的多项式函数，但给出了一个统一的形式。

B样条的局部性：

引申：在神经网络中把sigmod这种基函数变成局部基也能有这个性质，数据变化了只会影响一部分参数。

B样条的其它理论知识：