GAMES102-05-Bezier曲线 B样条曲线

Lecture 05 B-Spline

建模的两种形式：

曲线拟合从代数观点来看是从一组基函数所张成的函数空间中，找一个“好”的函数来拟合给定的采样点。从几何观点看：

系数顶点与曲线本身无直观的联系，无几何意义 → 不利于用户在设计建模中交互修改曲线

Bernstein基函数

n次Bernstein基函数

where the binomial coefficients are given by:

例子：

Bezier曲线

Bernstein基函数

image-20241105201818780

Bernstein基函数性质：

• 正性(非负性) + 权性 → Bezier曲线的凸包性

• 基性

  • 是次数不高于n的多项式集合（空间）的一组基

  • 与幂基可以相互线性表达：

• 递推公式

  • 基函数的递推公式

  • • with

  • • 由

  • • 可推导得到

  • 高阶的基函数由2个低阶的基函数“升阶”得到（利于保持一些良好的性质）

• 端点插值性

  • 可知Bezier曲线经过首末两个控制顶点p0, pn
  • 

• 导数

  • 

  • Bezier曲线的端点性质：

    • 端点插值：
    • 端点的切线方向与边相同：
    • 端点的2阶(k)切线与3点(k+1)相关：

• 升阶

​ 可知Bezier曲线的升阶：

​

​

Bezier曲线的 de Casteljau算法

• 最后一条边一定与最终的曲线相切

几何样条曲线

用分段Bezier曲线来插值型值点

两Bezier曲线的拼接条件：

广义样条曲线

分段表达时具有局部性，如何形成一个统一表达？

从Bernstein基函数的递推公式得到启发：

• 局部处处类似定义，由一个基函数平移得到
• 高阶的基函数由2个低阶的基函数“升阶”得到

关键思路：

• 构造一个基函数b(t)，它存在以下性质：

  • b(t) 是 C² 连续的

  • b(t) 是分段多项式

  • b(t) 具有局部支撑

  • 叠加平移的 b(t+i) 形成统一的分割

  • 对所有 t，b(t) ≥ 0 b(t) ≥ 0

• 简而言之就是所有理想的性质都在基函数中体现，线性组合将继承这些性质。

每次多一阶。

• 对于均匀节点：

• 非均匀节点：

基函数的性质：

B样条曲线：

多重加权结点向量：

• 允许
• 只要没有超过 k 个结点重合，递归定义就能正常工作
• 节点重合可以改变曲线的光滑性

B样条函数实际上就是一个分段的多项式函数，但给出了一个统一的形式。

B样条的局部性：

引申：在神经网络中把sigmod这种基函数变成局部基也能有这个性质，数据变化了只会影响一部分参数。

B样条的其它理论知识：

• B样条的许多性质：
  • 局部凸包性：B样条曲线的局部修改只会影响曲线的局部部分。
  • 变差缩减性：B样条曲线的平滑度可以通过调整结点向量来控制。
  • 包络性：B样条曲线可以被其控制点的凸包所包围。
  • 导数和积分的递推式：B样条曲线的导数和积分可以通过递推式计算。
  • 几何作图：B样条曲线可以通过几何方法绘制。
• 重节点的B样条基函数及曲线
• Bezier样条曲线与B样条曲线的转换
• B样条插值方法